| Planta: | Péndulo invertido rotacional (a.k.a. Péndulo de Furuta) |
| Universidad: | Universidad de Ciencias Aplicadas de la Suiza Italiana |
| Ubicación: | Manno, Suiza |
| Personas a cargo: | Carlos Meza, J. Alexis Andrade, María A. Álvarez |
Descripción
Las características dinámicas del péndulo invertido se la puede encontrar en muchos de los problemas reales de control, tales como, el control de la acceleración vertical de aereoplanos de alto rendimiento, ó el desplegamiento de las antenas de un satélite por la rotación del cuerpo del satélite.
Figura 1.
El péndulo invertido está conformado por dos enlaces, tal como se ve en la Figura 1. El primer enlace, al que llamaremos "brazo", es impulsado por un motor que rota en el plano horizontal. Un segundo enlace o péndulo conectado al brazo rota libremente en el plano vertical. El objetivo es balancear el brazo para subir el péndulo a la posición vertical usando control por retroalimentación.
Attach:Pendulum_BlockDiagram.eps Δ
Ecuaciones dinámicas del sistema
Tomando $\theta_0$ como la posición angular del brazo y $\theta_1$ como la posición angular del péndulo y asumiendo que $\theta_1$ = 0 cuando el péndulo se encuentra en la posición vertical, las ecuaciones dinámicas del péndulo invertido rotatorio pueden ser derivadas por el método de Euler-Lagrange, obteniendo:
$\left(J_{{0}}+m {L_{{1}}}^{2} \sin ^{2}\left( \theta_{{1}}\right) +m {L_{{0}}}^{2} \right) \ddot{\theta}_0+mL_{{0}}L_{{1}}\cos \left( \theta_{{1}} \right) \ddot{\theta}_1+$ $\left( R_{{0}}+m{L_{{1} }}^{2}\sin \left( 2\,\theta_{{1}}\right)\dot{\theta}_1 \right)\dot{\theta}_0 - mL_{{0}}L_{{1}}\sin \left( \theta_{{1}}\right)\dot{\theta}_1 ^{2} = K _M u$
$mL_{{0}}L_{{1}}\cos \left( \theta_{{1}} \right) \ddot{\theta}_0 +\left( J_{{1}} +m{L_{{1}}}^{2} \right) \ddot{\theta}_1 -\displaystyle{\frac{1}{2}} \,m {L_{{1}}}^{2}\sin \left( 2\,\theta_{{1}} \right) \dot{\theta}_0 ^{2} +$ $R_{{1}}\dot{\theta }_1 -mgL_{{1}}\sin \left( \theta_{{1}} \right) = 0$
Los parámetros del sistema se muestran en la siguiente tabla:
| Símbolo | Descripción |
|---|---|
| $K_M$ | Constante del motor |
| $L_0$ | Longitud del brazo |
| $L_1$ | Distancia del péndulo al centro de masa |
| m | Masa del péndulo |
| $R_0$ | Coeficiente de frincción del brazo |
| $R_1$ | Coeficiente de frincción del péndulo |
| $J_0$ | Momento rotacional de inercia del brazo |
| $J_1$ | Momento rotacional de inercia del péndulo |
Nótese que el sistema es no lineal con un número infinito de puntos de equilibrio. Normalmente, el estado el espacio se limita de forma tal que $\theta_0, \theta_1 \in (-\pi,\pi]$. En este caso, el conjunto de puntos de equilibrio estables son aquellos en los donde $\theta_1=\pi$. Por otro lado, también existe un conunto de puntos de equilibrio inestables, en este caso cuando $\theta_1=0$. El objetivo de control consiste en conseguir que $\theta_1=0$.
Simulación
La simulación de este el péndulo invertido rotacional no es tan sencilla ya que el sistema está definido por medio de un conjunto de ecuaciones diferenciales implícitas. Algunos entornos de simulación sólo permiten simular ecuaciones diferenciales explícitas. En este punto, existen dos opciones:
- reescribir el modelo del sistema como un conjunto de ecuaciones implícitas, o
- utilizar un entorno de simulación adecuado para simular el conjunto de ecuaciones implícitas.
Reescribir el conjunto de ecuaciones a su forma implícita representa una serie de manipulaciones algebráicas incesarias y sujeto a errores.
Scicoslab 4.3 puede simular ecuaciones diferenciales que se describen en forma implícita, como las derivadas previamente para el péndulo invertido rotatorio. Para ello se utiliza un lenguaje abierto de modelado llamado Modelica, que se utiliza especialmente para describir los sistemas complejos dado que es orientado a objetos, declarativo y multicultural. Scicoslab 4.3 contiene un bloque Modelica Generic (ver Figura 3) que permite al usuario describir cualquier sistema utilizando el lenguaje Modelica. En la tabla inferior puede descargar el archivo .mo (utilizado para describir modelos en Modelica) que contiene los parámetros y el código necesario para describir su comportamiento dinámico en Modelica en Scicos. Así, mismo hayará un archivo .cos que describe con el modelo del péndulo invertido rotaciona. Recuerde copiar ambos archivos (los .cos y .mo) en el mismo directorio. Observe que las ecuaciones dinámicas escritas en código Modelica son sólo una copia de las ecuaciones descritas anteriormente. El archivo .mo se puede ver con cualquier editor de texto.
Comentarios
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